Фрактальная снежинка - один из самых известных и загадочных геометрических объектов - описана Хельгой фон Кох еще в начале нашего века. По традиции ее называют у нас в литературе снежинкой Коха. Это очень "колючая" геометрическая фигура, которую метафорически можно рассматривать как результат многократного "умножения" звезды Давида на саму себя. Шесть ее основных лучей покрыты бесконечным количеством больших и малых вершин-"иголочек". Всякий микроскопический фрагмент контура снежинки как две капли воды похож на весь большой луч, а большой луч в свою очередь содержит в себе бесконечное количество таких же микроскопических фрагментов.

На международном симпозиуме по методологии математического моделирования в Варне еще в 1994 году мне на глаза попалась работа болгарских авторов, которые описывали свой опыт использования снежинки Коха и других подобных объектов на уроках в старших классах для иллюстрации проблемы делимости пространства и философских апорий Зенона. Помимо этого, с образовательной точки зрения весьма интересен, на мой взгляд, сам принцип построения регулярных фрактальных геометрических структур - принцип рекурсивного умножения базового элемента. Природа недаром "любит" фрактальные формы. Это объясняется именно тем, что они получаются путем простого размножения и изменения размеров некого одного элементарного строительного блока. Как известно, природа не излишествует разнообразием причин и, где возможно, обходится наиболее простыми алгоритмическими решениями. Присмотритесь внимательно к контурам листьев, и во многих случаях вы обнаружите явное их родство с формой контура снежинки Коха.

Визуализация фрактальных геометрических структур возможна лишь при помощи компьютера. Построить снежинку Коха выше третьего порядка вручную уже очень сложно, а заглянуть в бесконечность так хочется! Поэтому, почему бы ни попытаться разработать соответствующую компьютерную программу. В РуНете можно отыскать рекомендации строить снежинку Коха из треугольников. Результат работы этого алгоритма выглядит как нагромождение пересекающихся линий. Интереснее скомбинировать эту фигуру из "кусочков". Контур снежинки Коха состоит из отрезков одинаковой длины, наклоненных под углом 0°, 60° и 120° по отношению к горизонтальной оси x. Если обозначить их соответственно 1, 2 и 3, то снежинка любого порядка будет состоять из следующих друг за другом троек - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3… и т. д. Каждый из этих трех типов отрезков может прикрепляться к предыдущему одним либо другим концом. С учетом этого обстоятельства можно считать, что контур снежинки состоит из отрезков шести типов. Обозначим их 0, 1, 2, 3, 4, 5. Таким образом, мы получаем возможность кодировать контур любого порядка при помощи 6 цифр (см. рисунок).

Снежинка более высокого порядка получается из предшественницы более низкого порядка путем замены каждого ребра на четыре, соединенных подобно сложенным ладошкам (_/\_). Ребро типа 0 заменяется на четыре ребра 0, 5, 1, 0 и так далее в соответствии с таблицей:

0	0 1 5 0
1	1 2 0 1
2	2 3 1 2
3	3 4 2 3
4	4 5 3 4
5	5 0 4 5

Простой равносторонний треугольник можно рассматривать как снежинку Коха нулевого порядка. В описанной системе кодировки ему соответствует запись 0, 4, 2. Все остальное можно получить путем описанных замен. Я не буду приводить здесь код процедуры и тем самым лишать вас удовольствия разработать свою программу самостоятельно. При ее написании вовсе необязательно использовать явный рекурсивный вызов. Его можно заменить обычным циклом. В процессе работы у вас будет лишний повод поразмыслить о рекурсии и ее роли в образовании квазифрактальных форм окружающего нас мира, а в конце пути (если, конечно, не поленитесь пройти его до конца) вы сможете полюбоваться сложным узором контуров фрактальной снежинки, а также заглянуть, наконец, в лицо бесконечности.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника , образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха .

Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) n -1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний — формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a . Тогда его площадь . Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n -м шаге будет достроено T n = 3 · 4 n -1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3) n . Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равен T n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 . Поэтому после n -го шага площадь фигуры будет равна сумме S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна .

4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N (δ ) ~ (1/δ ) D , где N — число пересекающихся квадратиков, δ — их размер, а D — размерность, получаем, что D = log 1/ δ N . Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на верхнем рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log 9 12 ≈ 1,130929... . Пока не очень похоже на 1,261859... . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Уже лучше. Внизу квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log 72 30 ≈ 1,193426... . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log 3 4, а в пределе и вовсе совпадет.

Варианты

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.

Снежинка Коха

canvas {
border: 1px dashed black;
}

var cos = 0.5,
sin = Math.sqrt(3) / 2,
deg = Math.PI / 180;
canv, ctx;

function rebro(n, len) {
ctx.save(); // Сохраняем текущую трансформацию
if (n == 0) { // Нерекурсивный случай - отрисовываем линию
ctx.lineTo(len, 0);
}
else {
ctx.scale(1 / 3, 1 / 3); // Уменьшаем масштаб в 3 раза
rebro(n-1, len); //RECUURSION на ребре
ctx.rotate(60 * deg);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(-120 * deg);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(60 * deg);
rebro(n-1, len);
}
ctx.restore(); // Восстанавливаем трансформацию
ctx.translate(len, 0); // переходим в конец ребра
}

function drawKochSnowflake(x, y, len, n) {
x = x - len / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * deg); //RECUUUURSION уже треугольник
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * deg);
rebro(n, len); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
ctx.stroke();
ctx.restore();
}

function clearcanvas(){ //чистим канвас
ctx.save();
ctx.beginPath();

// Use the identity matrix while clearing the canvas
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, canvas1.width, canvas1.height);

// Restore the transform
ctx.restore();
}

function run() {
canv = document.getElementById("canvas1");
ctx = canv.getContext("2d");
var numberiter = document.getElementById("qty").value;
drawKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);

Ctx.stroke(); //отрисовка
}

Снежинка Коха - пример

Фракталы – это объекты, части которых подобны целому. Например, ветка дерева подобна дереву, а каждый лист папоротника подобен ветке. Если снять с обычной капусты или луковицы несколько листов, то останется такое же растение, лишь уменьшится его размер. Но, пожалуй, самым интересным растением-фракталом является румынская капуста или капуста Романеско.

Выдающийся японский художник-иллюстратор Кацусика Хокусай (1760–1849) увидел фрактальные элементы в природных явлениях задолго до возникновения теории фракталов.

Интересным примером фрактала является так называемая кривая Коха или снежинка Коха . Она была построена в 1904 году шведским математиком (1870–1924). Строится эта кривая просто, но в результате выходит довольно причудливый объект.

Возьмём обычный равносторонний треугольник. На первом шаге разделим каждую сторону на три равные части, выбросим средний отрезок, вместо него построим два отрезка такой же длины, которые направлены вовне фигуры и касаются друг друга. В результате получим звезду Давида. И так далее, на каждом шаге среднюю часть каждого из отрезков периметра меняем на два такие же отрезка.

Оказывается, что если число шагов при построении кривой стремится к бесконечности, то площадь, ограниченная кривой, стремится к конечной величине, но периметр стремится к бесконечности. (Математики-современники Коха были этим настолько удивлены, что назвали кривую математическим уродцем.)

Показать это достаточно просто. Пусть p – периметр исходного треугольника. Заметим, что на каждом шаге исчезает отрезок, длина которого равна трети длины каждой стороны периметра, но вместо него добавляется два таких же отрезка.

Таким образом, на каждом шаге периметр фигуры множится на 4/3, и на n -м шаге периметр фигуры составляет . Поскольку , то P(n) стремится к бесконечности при n стремящемся к бесконечности.

Покажем теперь, что площадь фигуры стремится к конечной величине. Вспомним простой факт из геометрии, что отношение площадей подобных фигур равно отношению квадратов их любых соответствующих линейных элементов.

Например, если сторону равностороннего треугольника уменьшить в 3 раза, то его площадь уменьшится в 3 2 =9 раз. Пусть площадь исходного треугольника равна S. На первом шаге к фигуре прибавляется 3 треугольника, площадь каждого из которых равна S /9.

На каждом следующем шаге количество треугольников, добавляющихся к фигуре, возрастает в 4 раза, а площадь каждого треугольника уменьшается в 9 раз. Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой фон Коха, равна

Заметим, что в квадратных скобках стоит сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , и её сумма равна .

Ерик Хайнес , современный специалист в области компьютерной графики и дизайна, построил трёхмерный аналог снежинки фон Коха.

Основателем математической теории фракталов является французский и американский математик (1924–2010). Именно он ввёл в употребление термин "фрактал" от латинского слова fractus (ломанный).

Этот неординарный человек родился в Варшаве, потом его семья переехала в Париж, где он окончил Политехническую школу – знаменитое учебное заведение для подготовки инженеров, основанное ещё в 1794 году.

В ходе обучения в Политехнической школе обнаружилось, что Мандельброт обладает феноменальным пространственным воображением – даже для чисто алгебраических задач он находил геометрическую интерпретацию. Спасаясь от преследований нацистов, Мандельброт переезжает в США, где получает второе высшее образование в Калифорнийском технологическом институте.

С 1958 года Мандельброт работает в научно-исследовательском центре IBM. При создании персональных компьютеров одной из ключевых проблем было подавление шумов в проводах. Мандельброт заметил, что графики шумов за день, час и даже секунду идентичны, и это стало ключевой догадкой, которая помогла решить проблему.

Вместе с этим Мандельброт начинает изучать экономические процессы и замечает, что там также имеют место колебания, графики которых аналогичны графикам шумов в проводах. Он выяснил, что произвольные внешние колебания цены следуют скрытому математическому порядку, который нельзя описать при помощи стандартных математических кривых.

В рамках своих экономических исследований Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок на протяжении длительного периода (более 100 лет). Мандельброт обнаружил похожесть кратковременных колебаний и колебаний на длительных интервалах времени. Это открытие оказалось неожиданным для экономистов.

Трёхмерный аналог
снежинки фон Коха

По сути, Мандельброт применил основы своего рекурсивного (фрактального) метода.

Следует заметить, что Мандельброт исследовал преимущественно геометрические свойства случайных колебаний, а их строгое математическое обоснование дал другой выдающийся математик – Норберт Винер (1894–1964), который считается основателем кибернетики и теории искусственного интеллекта.

Математическая модель шумов, которые с разных сторон исследовали Винер и Мандельброт, называется винеровским процессом; он является составной частью современной теории вероятностей и математической экономики.

Другое интересное исследование, которое проводил Мандельброт и о котором стоит рассказать, – это проблема измерения береговой линии. Эта проблема оказалась совсем не банальной, как может показаться на первый взгляд.

В 1967 году в журнале Science Мандельброт публикует статью под названием «Какова длина побережья Великобритании». Казалось бы, всё очень просто – чтобы измерить длину побережья, нужно на карте вдоль периметра страны отложить отрезки, отвечающие определённым длинам (например, 100 км), а потом эту единичную величину умножить на количество отрезков, отложенных вдоль периметра (см. рисунок).

Но оказалось, что результат измерения существенно зависит от того, какую длину отрезка выбрать в качестве единицы измерения. Так, при длине отрезка в 200 км длина побережья оказалась равной 2400 км, при длине отрезка 100 км – 2800, а при длине отрезка 50 км суммирование отрезков даёт длину побережья 3400 км.

Результаты измерений сильно отличаются, и незначительными ошибками это назвать никак нельзя. Мандельброт приходит к выводу, что говорить о длине побережья в обычном понимании нет смысла, и что есть кривые, которые имеют дробную (фрактальную) размерность, т.е. больше, чем единица (как у линии), и меньше двух (как у плоскости). Например, снежинка Коха имеет фрактальную размерность log 3 4≈1,262.

Измерение длины береговой линии Великобритании отрезками 200 км, 100 км и 50 км

Завершая рассказ о Бенуа Мандельброте, приведём несколько его высказываний:

– Основная идея состоит в том, что когда вы приближаете фрактальный объект к себе, он продолжает выглядеть по-прежнему.

– Во всей математике гладкость – вот что было главным. Я же предложил изучать неровности и шероховатости.

– Математика описывает гладкий мир, построенный человеком. А шероховатый мир, созданный природой, оказался за пределами нашей математики.

– Математики пишут формулы, я же всю жизнь рассматривал картинки.

Рассказывая о фракталах, стоит вспомнить их важное применение – фрактальные антенны и их изобретателя – Натана Коэна . История его изобретения, изменившая его биографию, довольно забавная.

Он жил в Бостоне, работал в должности профессора в Бостонском университете, областью его научных интересов были астрономия и астрофизика. Но кроме того он был радиолюбителем и на крыше его дома стояла большая антенна.

В 1988 году городские власти заставили его и других жителей убрать с крыш большие антенны, поскольку те портили внешний вид центра города. Коэн был сильно огорчён и в отчаянии заменил большую и дорогую антенну на небольшой кусок проволоки, который согнул в форму, подобную снежинке Коха. И вдруг обнаружилось, что такая примитивная антенна работает не хуже той, что была раньше!

Заинтересовавшись этим, Коэн меняет направление своих научных интересов и через несколько лет ставит дело на коммерческую основу – в 1995 году он основывает компанию Fractal antenna systems.

Наряду с разработкой внешних антенн небольших размеров, компания начинает заниматься разработкой антенн для мобильных телефонов. Изначально мобильные телефоны (равно как и радиотелефоны) были громоздкими, к тому же из них торчали внешние антенны.

Идеи Натана Коэна позволили спрятать антенну внутрь телефона. При этом элементы микросхемы, расположенные на плате, имеют форму фрактальной фигуры, называемой «ковёр Серпинского ».

Фракталы также применяются в современной рекламе и дизайне. Теория фракталов в сочетании с возможностями современной компьютерной графики открывают безграничные возможности для креатива, иногда весьма забавного.

Тем, кто заинтересовался фракталами, автор советует посмотреть фильм «Фракталы. Поиски новых размерностей» (он есть на youtube.com), или просто посмотреть причудливые фрактальные картинки, для этого нужно лишь зайти в google-картинки и в поисковой строке набрать «fractals».

С.И. Доценко , кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник факультета компьютерных наук и кибернетики КНУ имени Тараса Шевченко

Называемую снежинкой Коха .

Кривая Коха

Построение

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Свойства Вариации и обобщения

Возможны обобщения кривой Коха, также использующие при построении подстановку ломаной из четырёх равных отрезков, но имеющей иную геометрию. Они имеют хаусдорфову размерность от 1 до 2. В частности, если вместо деления отрезка 1:1:1 использовать золотое сечение (φ:1:φ), то получившаяся кривая имеет отношение к мозаикам Пенроуза .

Также можно построить «Снежинку Коха» на сторонах равностороннего трегоугольника.

Вслед за подходом Коха были разработаны варианты с прямыми углами (квадратичная), других углов (Чезаро ) или кругов и их расширения на высшие размерности (сферическая снежинка):

Фрактал Cesaro

Квадратичная кривая 1-го типа

Первые 2 итерации

Квадратичная кривая 2-го типа

Первые 2 итерации. Фрактальная размерность 1,5 (точно посередине между размерностью 1 и 2), поэтому часто используется при изучении физических свойств нецелых фрактальных объектов

Поверхность Коха

Расширения кривой Коха на 3D (первые 3 итерации)

Квадратичная поверхность 1-го типа

Квадратичная поверхность (анимация)

Квадратичная поверхность 2-го типа

сферическая снежинка Хэйнса (большой зелёный объект)

Снежинка Коха

Снежинка Коха, построенная в виде замкнутой кривой на базе равностороннего треугольника , впервые была описана шведским математиком Хельге фон Кохом в 1904 году . В некоторых работах она получила название «остров Коха» .

Было доказано, что эта фрактальная кривая обладает рядом любопытных свойств. К примеру, длина её периметра равна бесконечности, что, однако, не мешает ему охватывать конечную площадь , величина которой равна 8/5 площади базового треугольника . Вследствие этого факта некоторые прикладные методики и параметры плоских фигур, такие как, например, краевой индекс (отношение периметра к корню из площади), при работе со снежинкой Коха оказываются неприменимыми .

Возможно также построение так называемой антиснежинки Коха, алгоритм генерирования которой заключается в вырезании на каждом этапе всё новых и новых треугольников из исходного. Иными словами рёбра базовой формы модифицируются внутрь, а не наружу. В результате полученная фигура охватывает бесконечное множество несвязанных областей, суммарная площадь которых равна 2/5 от площади треугольника нулевой итерации .

Примечания Ссылки L-система

L-система или система Линденмайера - это параллельная система переписывания и вид формальной грамматики. L-система состоит из алфавита символов, которые могут быть использованы для создания строк, набора порождающих правил, которые задают правила подстановки вместо каждого символа, начальной строки («аксиомы»), с которой начинается построение, и механизма перевода образованной строки в геометрические структуры. L-системы предложил и развивал в 1968 Аристид Линденмайер, венгерский биолог и ботаник из Утрехтского университета. Линденмайер использовал L-системы для описания поведения клеток растений и моделирования процесса развития растения. L-системы использовались также для моделирования морфологии различных организмов и могут быть использованы для генерации самоподобных фракталов, таких как системы итерируемых функций.

Конечное правило подразделения

В математике конечное правило подразделения - это рекурсивный способ деления многоугольника и других двумерных фигур на всё меньшие и меньшие части. Правила подразделения в этом смысле является обобщением фракталов. Вместо повторения одного и того же узора снова и снова здесь имеются небольшие изменения на каждом шаге, что позволяет получить более богатые структуры, сохраняя при этом поддержку элегантного стиля фракталов. Правила подразделения используются в архитектуре, биологии и информатике, а также при изучении гиперболических многообразий. Подстановки плиток являются хорошо изученным видом правил подразделения.

Кривая Пеано

Крива́я Пеа́но - общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства). Другое название - заполняющая пространство кривая.

Названа в честь Джузеппе Пеано (1858-1932), первооткрывателя такого рода кривых, в частном смысле кривой Пеано называется конкретная кривая, которую нашёл Пеано.

Кривая Серпинского

Кривые Серпинского - это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых, открытых Вацлавом Серпинским. Кривая в пределе при полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского , является примером заполняющих пространство кривых.

Поскольку кривая Серпинского заполняет пространство, её размерность Хаусдорфа (в пределе при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } ) равна 2 {\displaystyle 2} .
Евклидова длина кривой

равна l n = 2 3 (1 + 2) 2 n − 1 3 (2 − 2) 1 2 n {\displaystyle l_{n}={2 \over 3}(1+{\sqrt {2}})2^{n}-{1 \over 3}(2-{\sqrt {2}}){1 \over 2^{n}}} ,

т. е. она растёт экпоненциально по n {\displaystyle n} , а предел при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } площади области, заключённой кривой S n {\displaystyle S_{n}} , составляет 5 / 12 {\displaystyle 5/12} квадрата (в Евклидовой метрике).

Размерность Минковского

Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна

lim ε → 0 ln ⁡ (N ε) − ln ⁡ (ε) {\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{-\ln(\varepsilon)}}} ,

где - минимальное число множеств диаметра , которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Теория хаоса

Тео́рия ха́оса - математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать название теория динамического хаоса.

Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интер-культуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием.

Теория хаоса - область исследований, связывающая математику и физику.

Фрактал

Фракта́л (лат. fractus - дроблёный, сломанный, разбитый) - множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

Является самоподобным или приближённо самоподобным.

Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Фрактальная размерность

Фракта́льная разме́рность (англ. fractal dimension ) - один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве. Фрактальную размерность n -мерного множества можно определить с помощью формулы:

D = − lim ε → 0 ln ⁡ (N ε) ln ⁡ (ε) {\displaystyle D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{\ln(\varepsilon)}}} , где N ε {\displaystyle N_{\varepsilon }} - минимальное число n -мерных «шаров» радиуса ε {\displaystyle \varepsilon } , необходимых для покрытия множества.

Фрактальная размерность может принимать не целое числовое значение.

Основная идея «дробной» (англ. fractured ) размерности имеет долгую историю в области математики, но именно сам термин введён в оборот Бенуа Мандельбротом в 1967 году в его статье о самоподобии, в которой он описал «дробную» (англ. fractional ) размерность. В этой статье Мандельброт ссылался на предыдущую работу Льюиса Фрайя Ричардсона, описывающую противоречащую здравому смыслу идею о том, что измеренная длина береговой линии зависит от длины мерной палки (шеста) (см. Рис. 1). Следуя этому представлению, фрактальная размерность береговой линии соответствует отношению числа шестов (в определенном масштабе), нужных для измерения длины береговой линии, к выбранному масштабу шеста. Есть несколько формальных математических определений [⇨] фрактальной размерности, которые строятся на этой базовой концепции, об изменении в элементе с изменением в масштабе.

Одним из элементарных примеров является фрактальная размерность снежинки Коха. Её топологическая размерность равна 1, но это ни в коем случае не спрямляемая кривая, поскольку длина кривой между любыми двумя точками снежинки Коха - бесконечность. Никакая сколько угодно малая часть кривой не является отрезком прямой. Скорее, снежинка Коха состоит из бесконечного числа сегментов, соединённых под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, предполагая, что фрактальная линия - это объект слишком детальный (подробный), чтобы быть одномерным, но недостаточно сложный, чтобы быть двумерным. Поэтому её размерность лучше описывать не обычной топологической размерностью 1, но её фрактальной размерностью, равной в этом случае числу, лежащему в интервале между 1 и 2.

Характеристики Простейшие фракталы Странный аттрактор L-система Бифуркационные фракталы Случайные фракталы Люди Связанные темы Определения Преобразованные Неплоские

Эта фигура - один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Как по шагам строится кривая Коха.

Первая итерация - просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация - ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1.О на непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана - как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3 : длина линии с номером n равна (4/3)n–1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно - снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний - формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a. Тогда его площадь. Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n-м шаге будет достроено Tn = 3 · 4n–1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3)n. Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равен Tn · Sn = 3/4 · (4/9)n · S0 . Поэтому после n-го шага площадь фигуры будет равна сумме S0 + T1 · S1 + T2 · S2 + ... +Tn · Sn = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞ . Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна .

Варианты построения снежинки Коха

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.