Существует три признака равенства для двух треугольников. В этой статье мы рассмотрим их в виде теорем, а также приведем их доказательства. Для этого вспомним, что фигуры будут равны в том случае, когда они будут целиком накладываться друг на друга.
Первый признак
Теорема 1
Два треугольника будут равными, если две стороны и угол между ними одного из треугольников будут равняться двум сторонам и углу, лежащему между ними в другом.
Доказательство.
Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AB=A"B"$,$AC=A"C"$ и $∠A=∠A"$ (рис. 1).
Совместим высоты $A$ и $A"$ этих треугольников. Так как углы при этих вершинах равны между собой, то стороны $AB$ и $AC$ наложатся, соответственно, на лучи $A"B"$ и $A"C"$. Так как эти стороны попарно равны, то стороны $AB$ и $AC$, соответственно, совпадут со сторонами $A"B"$ и $A"C"$, а следовательно и вершины $B$ и $B"$, $C$ и $C"$ будут совпадать.
Следовательно, сторона BC полностью совпадет со стороной $B"C"$. Значит, и треугольники будут целиком накладываться друг на друга, что и означает их равенства.
Теорема доказана.
Второй признак
Теорема 2
Два треугольника будут равными, если два угла и их общая сторона одного из треугольников будут равняться двум углам и их общей стороны в другом.
Доказательство.
Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AC=A"C"$ и $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (рис. 2).
Совместим стороны $AC$ и $A"C"$ этих треугольников, так что высоты $B$ и $B"$ будут лежать по одну сторону от нее. Так как углы при этих сторонах попарно равны между собой, то стороны $AB$ и $BC$ наложатся, соответственно, на лучи $A"B"$ и $B"C"$. Следовательно, и точка $B$ и точка $B"$ будет точками пересечения совмещенных лучей (то есть, к примеру, лучей $AB$ и $BC$). Так как лучи могут иметь только одну точку пересечения, то точка $B$ совпадет с точкой $B"$. Значит, и треугольники будут целиком накладываться друг на друга, что и означает их равенства.
Теорема доказана.
Третий признак
Теорема 3
Два треугольника будут равными, если три стороны одного из треугольников будут равняться трем сторонам в другом.
Доказательство.
Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ и $BC=B"C"$ (рис. 3).
Доказательство.
Совместим стороны $AC$ и $A"C"$ этих треугольников, так что высоты $B$ и $B"$ будут лежать по разную сторону от нее. Далее будем рассматривать три различных случая полученного после этого расположения этих вершин. Будем их рассматривать на рисунках.
Первый случай:
Так как $AB=A"B"$, то будет верно равенство $∠ABB"=∠AB"B$. Аналогично, $∠BB"C=∠B"BC$. Тогда, как сумму, получим $∠B=∠B"$
Второй случай:
Так как $AB=A"B"$, то будет верно равенство $∠ABB"=∠AB"B$. Аналогично, $∠BB"C=∠B"BC$. Тогда, как разность, получим $∠B=∠B"$
Следовательно, по теореме 1, эти треугольники равны.
Третий случай:
Так как $BC=B"C"$, то будет верно равенство $∠ABC=∠AB"C$
Следовательно, по теореме 1, эти треугольники равны.
Теорема доказана.
Пример задач
Пример 1
Докажите равенство треугольников на рисунке ниже
Геометрия как отдельный предмет начинается у школьников в 7 классе. До этого времени они касаются геометрических задач достаточно лёгкой формы и в основном того, что можно рассмотреть на наглядных примерах: площади комнаты, земельного участка, длины и высоты стен в помещениях, плоских предметов и прочее. В нача ле изучения непосредственно геометрии появляются первые сложности, такие, например, как понятие прямой, так как потрогать руками эту прямую нет возможности. Что касается треугольников -это самый простой вид многоугольников, содержащий всего три угла и три стороны.
Вконтакте
Одноклассники
Тема треугольников одна из основных важных и больших тем школьной программы в геометрии 7−9 классов. Усвоив её хорошо, возможно решать очень сложные задачи. При этом можно изначально рассматривать совершенно другую геометрическую фигуру, а затем разделить её для удобства на подходящие треугольные части.
Для работы над доказательством равенства ∆ ABC
и ∆A1B1C1
нужно хорошо усвоить признаки равенства фигур и уметь ими пользоваться. Перед изучением признаков необходимо научиться определять равенство
сторон и углов простейших многоугольников.
Чтобы доказать, что углы треугольников равны, помогут следующие варианты:
- ∠ α = ∠ β исходя из построения фигур.
- Дано в условии задания.
- При двух параллельных прямых и наличии секущей могут образоваться как внутренние накрест лежащие, так и соответственные ∠ α = ∠ β.
- Прибавляя (вычитая) к (из) ∠ α = ∠ β равные углы.
- Всегда сходны вертикальные ∠ α и ∠ β
- Общий ∠ α, одновременно принадлежащий ∆ MNK и ∆ MNH .
- Биссектриса делит ∠ α на два равнозначных.
- Смежный с ∠ 90° - угол, равный исходному.
- Смежные равным углам равны.
- Высота образует два смежных ∠ 90° .
- В равнобедренном ∆ MNK при основании ∠ α = ∠ β.
- В равных ∆ MNK и ∆ SDH соответствующие ∠ α = ∠ β.
- Доказанное ранее равенство ∆ MNK и ∆ SDH .
Это интересно: Как найти периметр треугольника.
3 признака равенства треугольников
Доказательство равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 очень удобно производить, опираясь на основные признаки тождественности этих простейших многоугольников. Существует три таких признака. Они являются очень важными при решении многих геометрических задач. Стоит рассмотреть каждый.
Перечисленные выше признаки являются теоремами и доказываются методом наложения одной фигуры на другую, соединения вершин соответственных углов и начала лучей. Доказательства равенства треугольников в 7 классе описаны в очень доступной форме, но сложны в изучении школьниками на практике, так как содержат большое количество элементов, обозначенных заглавными латинскими буквами. Это не совсем привычно для многих учеников на момент начала изучения предмета. Подростки путаются в названиях сторон, лучей, углов.
Чуть позже появляется ещё одна важная тема «Подобие треугольников». Само определение «подобие» в геометрии означает схожесть формы
при различии размеров. Для примера можно взять два квадрата, первый со стороной 4 см, а второй 10 см. Эти виды четырёхугольников будут похожи и, одновременно, иметь отличие, поскольку второй будет больше, причём каждая сторона увеличена в одинаковое количество раз.
В рассмотрении темы подобия также приводятся 3 признака:
- Первый — о двух соответственно равных углах двух рассматриваемых треугольных фигур.
- Второй — об угле и образующих его сторонах ∆ MNK , которые равны соответственным элементам ∆ SDH .
- Третий — указывает на пропорциональность всех соответственных сторон двух нужных фигур.
Как же доказать, что треугольники подобны? Достаточно воспользоваться одним из выше перечисленных признаков и грамотно описать весь процесс доказательства задания. Тема подобия ∆ MNK и ∆ SDH проще воспринимается школьниками исходя из того, что к моменту её изучения ученики уже свободно пользуются обозначениями элементов в геометрических построениях, не путаются в огромном количестве названий и умеют читать чертежи.
Завершая прохождение обширной темы треугольных геометрических фигур, учащиеся уже в совершенстве должны знать, как доказать равенство ∆ MNK = ∆ SDH по двум сторонам, установить равны два треугольника или нет. Учитывая, что многоугольник, имеющий ровно три угла - это одна из важнейших геометрических фигур, к усвоению материала следует подойти серьёзно, уделяя особое внимание даже мелким фактам теории.
Билет 2
Вопрос 1
Признаки равенства треугольников (доказательство всех)
1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (Теорема 3.1. – Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - Если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны )
Доказательство:
Пусть у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 угол А равен углу А 1 , АВ равно А 1 В 1, АС равно А 1 С 1 , докажем, что треугольники равны.
Так как А 1 В 1 равно А 1 В 2 , то вершина В 2 совпадет с В 1. Так как угол В 1 А 1 С 1 равен углу В 2 А 1 С 2, то луч А 1 С 2 совпадет с А 1 С 1 . Так как А 1 С 1 равен А 1 С 2 , то С 2 совпадет с С 1. Значит треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает стреугольниом А 1 В 2 С 2 , значит равен треугльнику АВС.
Теорема доказана.
2-ой признак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (Теорема 3.2. - Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам - Если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 – два треугольника, у которых АВ равно А 1 В 1, угол А равен углу А 1 , и угол В равен углу В 1 . Докажем, что они равны.
Пусть А 1 В 2 С 2 – треугольник, равный АВС, с вершины В 2 на луче А 1 В 1 и вершины С 2 в той же полуплоскости относительно прямой А 1 В 1 , где лежит вершина С 1 .
Так как А 1 В 2 равно А 1 В 1 , то вершина В 2 совпадет с В 1. Так как угол В 1 А 1 С 2 равен углу В 1 А 1 С 1, и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то луч А 1 С 2 совпадет с А 1 С 1 , а В 1 С 2 совпадет с В 1 С 1 . Отсюда следует, что вершина С 2 совпадет с С 1. Значит треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает стреугольниом А 1 В 2 С 2 , значит равен треугльнику АВС.
Теорема доказана.
3-ий признак равенства треугольников: по трем сторонам (Теорема 3.6. - Признак равенства треугольников по трем сторонам - Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 – два треугольника, у которых АВ равно А 1 В 1, АС равно А 1 С 1 , и ВС равно В 1 С 1 . Докажем, что они равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А 1 , угол В не равен углу В 1, и угол С не равен углу С 1 . Иначе они были бы равны, по перовому признаку.
Пусть А 1 В 1 С 2 – треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С 2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С 1 относительно прямой А 1 В 1 .
Пусть D – середина отрезка С 1 С 2 . Треугольники А 1 С 1 С 2 и В 1 С 1 С 2 – равнобедренные с общим основанием С 1 С 2 . Поэтому их медианы А 1 D и В 1 D – являются высотами, значит прямые А 1 D и В 1 D – перпендикулярны прямой С 1 С 2. Прямые А 1 D и В 1 D не совпадают, так как точки А 1, В 1 , D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С 1 С 2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.
Геометрическая фигура, сформированная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не принадлежащие одной прямой.
Стороны треугольника формируют в вершинах треугольника три угла. Перефразируя, треугольник - это многоугольник , у которого три угла.
Практическое значение признаков равенства треугольников сводится к нижеследующему: согласно формулировке треугольники равны , в случае когда получается их наложить друг на друга так, чтобы они совпали; однако реализовать наложение треугольников иногда бывает трудно, а иногда и невозможно.
Признаки равенства треугольников позволяют заменить наложение треугольников нахождением и сопоставлением отдельных основополагающих компонентов (сторон и углов) и таким образом обосновать равенство треугольников.
3. Все три стороны:
Еще выделяют четвертый признак , который не так широко освещен в школьном курсе математики как предыдущие три. Он формулируется следующим образом:
Если две стороны первого треугольника соответственно равны двум сторонам второго треугольника и угол, противолежащий большей из этих сторон в первом треугольнике, равен углу, противолежащему соответственно равной ей стороне во втором треугольнике, то эти треугольники равны .
Подгорный Максим
Материал исследовательской работы может использоваться для кружков по геометрии в 7 классе
Скачать:
Предварительный просмотр:
МБУ ДО города Ростова-на-Дону «Дворец творчества детей и молодежи»
Донская академия наук юных исследователей им. Ю. А. Жданова
Математика
Тема: «Нестандартные теоремы о равенстве треугольников»
Подгорный Максим, 7 кл.,
МБОУ СОШ № 3,
Руководитель:
Олейникова Людмила Александровна,
учитель математики,
МБОУ СОШ № 3,
г. Сальск, Ростовская область
г. Ростов-на-Дону
2017 год
Введение………………………………………………………….………………3
Основная часть
Признаки равенства треугольников…………………………………………… 4
Нестандартные признаки равенства треугольников………………………….7
Заключение…………………………………………………………………… 10
Список литературы…………………………………………………………… 11
Приложение
Введение.
Актуальность:
Треугольник одна из основных фигур в планиметрии. Я много слышал от старшеклассников, что при подготовке к ЕГЭ им часто приходится доказывать равенство треугольников. И оказывается недостаточным знание основных признаков. Мне захотелось узнать, а можно ли доказать равенство треугольников по другим параметрам. В учебнике геометрии, по которому обучаются ученики нашей школы (авторы Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия 7-9) рассматриваются всего 3 признака равенства треугольников. Я просмотрел учебно-методические комплекты других авторов. Но и в них для изучения предлагаются только три известные теоремы.
Гипотеза:
Возможно, ли сформулировать, кроме трех известных, другие признаки равенства треугольников?
Чтобы убедиться в том, что ответ на этот вопрос волнует не только меня, я провел социологический опрос среди учащихся 7-11 классов см. приложение 1).
Мои предположения подтвердились. Большенство учеников знают только три признака равенства треугольников.
Таким образом, целью моего исследования стало отыскание новых признаков равенства треугольников.
Задачи:
ΘИзучить литературу по исследуемой теме.
ΘУточнить количество признаков равенства треугольников.
ΘПродемонстрировать своим одноклассникам и учащимся нашей школы существование других признаков равенства треугольников и возможности их доказательства.
Объект исследования:
Изучение признаков равенства треугольников.
Предмет исследования . Треугольник, как одна из основных фигур в планиметрии.
Метод исследования: Теоретический (изучение, анализ и синтез),системно-поисковый, практический (доказательство теорем).
Историческая справка
Треугольник является одной из центральных фигур всей геометрии.
При решении задач используют его самые разнообразные свойства.
Свойства треугольника широко применяют на практике: в архитектуре; при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности, при проектировании различных деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии треугольник является очень значимой фигурой; треугольники делают надежными конструкции высоковольтных линий электропередач и железнодорожных мостов.
Кроме того, много других сфер, где применяются различные свойства треугольника: начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника, для этого используют специальное приспособление; расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника; для составления красивых паркетов используются треугольники; устройство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел (обвести треугольником три числа). Все элементарно, но сколько в этом таится чудес! Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык цвета.
Тему треугольника можно продолжать неограниченно.
Каких только треугольников нет на свете!
Существуют также переносные значения данной фигуры: например, правило «золотого треугольника» основано на психологии покупателя – найдя нужный ему товар, покупатель устремляется в кассу. Задача продавцов – заставить его задержаться в магазине подольше, расположив нужный покупателю товар в вершинах воображаемого треугольника, то есть «заякорить» покупателя. Чем больше площадь треугольника, тем более удачным можно назвать планировку магазина. В продуктовом магазине этими товарами-якорями являются гастрономия, молочная продукция, хлеб. Задняя торцевая стена торгового зала является вторым местом по значимости и именно там целесообразнее всего располагать товары-якоря – именно для того, что бы заставить покупателя пройти весь периметр магазина.
Широко известный Бермудский треугольник – это район в Атлантическом океане, в котором происходят якобы таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы.
Поэтому изучение треугольника и всех его свойств – очень актуальная тема.
Цель данной работы – рассказать о признаках равенства треугольников, что является одним из важнейших их свойств.
Признаки равенства треугольников - это теоремы, на основании которых можно доказать, что некоторые треугольники равны.
В геометрии используются три признака равенства треугольников.
Данная тема практически изучена, так как на сегодняшний день существуют три признака равенства треугольников, доказываемых с помощью соответствующих теорем.
В глубокой древности вместе с астрономией появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и «меряю». Буквальное значение – «наука об измерении треугольников».
С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п.
Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта, различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета.
Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.
Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).
Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно.
Признаки равенства треугольников.
Начнем с определения. Треугольники АВС и А1В1С1 называются равными, если их можно совместить наложением.
Треугольник состоит из шести элементов: трех углов и трех сторон.
При этом возникает вопрос: " Какое наименьшее количество элементов треугольника нужно взять для установления равенства двух треугольников?"
Мы не сможем установить равенство двух треугольников по одному элементу, потому что неизвестно:"Будут ли равны остальные элементы?"
Так же невозможно установить равенство двух треугольников, используя два элемента по причине нехватки информации для установления равенства.
Возможно установление равенства двух треугольников, используя три элемента. Но при этом возникает вопрос: "Какие именно три элемента нужно назвать, для установления равенства треугольников?"
При изучении этого вопроса, я просмотрел школьные учебники геометрии различных авторов, а также словари и справочники. В учебниках за седьмой класс предложены к изучению только три признака равенства треугольников.
Θ1 Признак : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны . рис.1
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , (рис. 1) у которых АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 . Докажем, что ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1 .
Так как ∠А = ∠А 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и A 1 C 1 . Поскольку АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 а сторона АС - со стороной А 1 C 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 С 1 . Итак, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит, они равны.
А вот как в Древнем Египте применили первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), создателем его также считается Фалес Милетский, для измерения высоты пирамиды: представим, что мы стоим перед огромной пирамидой, как же измерить её высоту? Ведь к ней не приложишь измерительные приборы! И тут на помощь Фалесу Милетскому приходит первый признак равенства треугольников: он подождал пока тень его точно совпадёт с его ростом, применил теорему, получилось, что высота пирамиды равна её тени (рис. 2).
Рис. 2
Θ2 Признак: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство: Если в △АВС и △А 1 В 1 С 1 будут иметь место следующие равенства AB=А 1 В 1 , ∠BAC=∠B 1 A 1 C 1 , ∠АВС= ∠А 1 В 1 С 1 . Наложим друг на друга треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС таким образом, чтобы совпали равные стороны AB и А 1 В 1 и углы, которые к ним прилегают. Как и в уже рассмотренном предыдущем примере, если это необходимо, треугольник А 1 В 1 С 1 можно "перевернуть и приложить обратной стороной". Треугольники совпадут, следовательно, они могут считаться равными.
Θ3 Признак : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство:Пусть для △ABC и △A 1 B 1 C 1 справедливы равенства А 1 В 1 =АВ, В 1 С 1 =ВС, С 1 А 1 =СА. Переместим треугольник А 1 В 1 С 1 таким образом, что сторона А 1 В 1 совпадет со стороной АВ, и вершины B 1 и B, A 1 и A, совпадут. Возьмем окружность с центром в A и радиусом AC, и вторую окружность с центром B и радиусом BC. Эти окружности пересекутся в двух симметричных относительно отрезка AB точках: точкой C и точкой C 2 . Значит, C1 после переноса треугольника A1B1C1 должна совпасть или с точками C, или с C2. Любом случае, это будет означать равенство △ABC=△A 1 B 1 C 1 , так как треугольники △ABC=△ABC 2 равны (ведь эти треугольники являются симметричными относительно отрезка AB .
Это свойство – жесткость треугольника – широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку; такой же принцип используется при установке кронштейна.
Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций.
Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура. Потому, что: можно представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой, однако, сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек. Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему
В справочнике по элементарной математике М. Я. Выгодского я нашел еще один признак.
Θ4 Признак: Если две стороны и угол, лежащий против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них другого треугольника, то такие треугольники равны.
Докажу этот признак.
Дано : ΔABC , ΔA1B1C1 , AB=A1B1,AC=A1C1, ∠ B= ∠ B1
Доказать: ΔABC=A1B1C1.
Расположим треугольники так, как на рисунке 1 . Соединим B и B1, тогда ΔАВВ1
Равнобедренный, значит ∠ 1= ∠ 2. ∠ 3= ∠ 4 как остатки равных углов.
Получим ΔВСВ1- равнобедренный, отсюда ВС=В1С1. ΔАВС = ΔА1В1С1 по трем сторонам.
Также в школьном курсе рассматриваются 4 признака равенства прямоугольных треугольников:
Θ1 . Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Θ2 . Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Θ3 . Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Θ4 . Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Я решил теоретическую базу по признакам равенства треугольников, довавив к сторонам и углам, используемым в класических признаках равенства треугольников, другие компоненты: биссектрису, медиану и высоту.
Нестандартные признаки равества треугольников.
1) По двум сторонам и высоте проведенной к одной из них.
Дано: AB=A1B1 , BC=B1C1 , AK=A1K1 ,
Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1 .
Доказательство: ΔABK=ΔA1B1K1 по гипотенузе и катету, тогда ∠ B= ∠ B1 и получим ΔABC= ΔA1B1C1 по первому признаку.
2) По двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них
Дано: AB=A1B1 , BC=B1C1 , AK=A1K1 , AK и A1K1 - медианы.
Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1 .
Доказательство:ΔABK=ΔA1B1K1 по трем сторонам, значит ∠ B= ∠ B1 и ΔABC= ΔA1B1C1 по первому признаку.
3) По двум сторонам и высоте, проведенной из третьего угла.
Дано: ∠ B= ∠ B1 , ∠ C= ∠ C1 , AK=A1K1 .
Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1 .
Доказательство: ΔABK=ΔA1B1K1 по катету и острому углу, значит BK=B1K1 ,
ΔACK=ΔA1C1K1 по катету и острому углу, значит KC=K1C1 , а следовательно BC=B1C1 , а ΔABC= ΔA1B1C1 по второму признаку.
4)По стороне и двум высотам, проведенным из углов, прилежащих к этой стороне.
Дано: АС=А1С1, СМ=С1М1, АК=А1К1.
Доказать: ΔСC= ΔA1B1C1 .
Доказательство: ΔAМC= ΔA1М1C1 по катету и гипотенузе, значит ∠ А= ∠ А1 , а ΔAКC= ΔA1К1C1 по катету и гипотенузе, значит ∠ С= ∠ С1 .
Итак, ΔABC= ΔA1B1C1 по второму признаку.
5)По двум сторонам и высоте, проведеннойк третьей стороне.
Дано: АВ=А1В1,ВС=В1С1,ВК=В1К1.
Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1 .
Доказательство: ΔABK=ΔA1B1K1 по гипотенузе и катету, значит AK=A1K1,
ΔBКC= ΔB1К1C1 по катету и гипотенузе, значит KC=K1C1 .
Итак,ΔABC= ΔA1B1C1 по трем сторонам.
6)По стороне, одному из углов, прилежайщих к этой стороне и биссектрисе из этого угла.
Дано: АС=А1С1, АК=А1К1, ∠ А ∠ А1 .
Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1 .
Доказательство: ΔКАС=ΔК1А1С1 по первому признаку, значит ∠ С= ∠ С1 ,
ΔABC= ΔA1B1C1 по второму признаку.
7) По двум высотам и углу, из которого провдена одна из высот.
Дано: СМ=С1М1, АК=А1К1, ∠ А ∠ А1 .
Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1 .
Доказательство: ΔAМC= ΔA1М1C1 по катету и острому углу,ΔКАС=ΔК1А1С1 по катету и гипотенузе,ΔABC= ΔA1B1C1 по второму признаку.
Заключение.
В ходе исследования я выяснил, что помимо трех основных признаков равенства треугольников возможно указать немало других. Я сформулировал и доказал равенство треугольников по медиане, высоте, биссектрисе треугольника в сочетании со сторонами и углами треугольника, придерживаясь наличия трех элементов. Теперь я могу рассказать учащимся нашей школы, что существуют другие признаки равенства треугольников. Это позволит выпускникам школы применить результаты моих исследований при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ и легко решать геометрические задачи на применение этих признаков.
Результат моего исследования : Доказаны несколько признаков равенства треугольников, не изучаемых в школьном курсе геометрии.
Список литературы
- Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
- Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 19-е изд. – М. : Просвещение, 2009.
- Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – 3-е издание. – М.: Просвещение, 2002.
- . Энциклопедия «Аванта» по математике, Москва, 2004 г.
- 2. «Википедия» - свободная энциклопедия.
- 3. Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, Просвещение, 1982 г.
- 4. Гусева Т.М. Признаки подобия треугольников.- Москва, Первое сентября, приложение «Математика», 1999 г., №28
- 5. Погорелов А.В. «Геометрия 7-9 классы», Москва, Просвещение, 2003 г.
Приложение 1
1.Как вы считаете, сколько существует признаков равенства треугольников?
А) 3 Б) более трех В) меньше трех
2. Хотели бы вы узнать новые признаки равенства треугольников?
А) да Б) нет
